Topologie induite par \(F\subset E\)
On fait de \(F\) un Espace topologique en intersectant la Topologie \(\tau\) avec \(F\).$$\tau_F=F\cap \tau=\{U\cap F\mid U\in\tau\}$$

• intuition : permet de étendre des concepts associés à un espace topologique à des sous-ensembles de cet espace
• les Fermés pour \(\tau_F\) sont les intersections des fermés pour \(\tau\) avec \(F\)
• les Voisinages de \(x\in F\) pour \(\tau_F\) sont les intersections des voisinages de \(x\) pour \(\tau\) avec \(F\)
• si \(A\subset F\), alors \(\overline A^F\) \(=\overline A^E\cap F\)
• si \(A\subset F\), alors \(\mathring A^F\) \(\supset \mathring A^E\cap F\)
• si \(F\in\tau\), alors les ouverts de \(\tau_F\) sont exactement les ouverts de \(\tau\) inclus dans \(F\)
    
• en particulier, un ouvert de \(\tau_F\) est un ouvert de \(\tau\)
• si \(F^C\in\tau\), alors les fermés de \(\tau_F\) sont exactement les fermés de \(\tau\) inclus dans \(F\)
    
• en particulier, un fermé pour \(\tau_F\) est un fermé pour \(\tau\)
• si \(f:E\to F\) est continue sur \(A\subset E\), alors \(f\) est continue pour la topologie induite sur \(A\)

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donne un exemple d'un ouvert pour la topologie induite qui n'est pas un ouvert pour la topologie globale.
Verso: On considère la topologie induite de \({\Bbb R}\) sur \(]0,1]\).
On a alors \(]1/2,1]=]1/2,2[\cap]0,1]\), qui est ouvert pour la topologie induite.
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donne un exemple d'un fermé pour la topologie induite qui n'est pas un ouvert pour la topologie globale.
Verso: On considère la topologie induite de \({\Bbb R}\) sur \(]0,1]\).
On a alors \(]0,1/2]=[-1,1/2]\cap]0,1]\), qui est ouvert pour la topologie induite.
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple où on, pour une topologie induite, on a : $$\mathring A^F\supsetneq \mathring A^E\cap F.$$
Verso: Dans la topologie induite sur \(]0,1]\), on considère \(A=]1/2,1]\)

• pour \(\tau_F\), \(A\) est un ouvert, donc il est son propre intérieur
• or \(\mathring A^{\Bbb R}\cap F=[1/2,1[\)

Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de fonction continue pour la topologie induite sur un ensemble \(A\), mais qui n'est pas continue en \(A\) pour la topologie globale.
Verso: On prend \(A=[0,1]\) et \(f=\Bbb 1_{[0,1]}\).
Bonus:
END